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超幸運時・超悪運時の成績

(信頼区間のことについてちょっと余計なことを書いてしまったので、最初から「ここまで」の部分まで数学的なことに興味のない方は読み飛ばしてよし)

 当ブログでは、平均順位2.5のプレーヤーが1000試合打った場合の平均順位は「概ね」2.43~2.57の範囲に入ると書いている。

 しかし、これは厳密には「95%の確率で2.43~2.57になる」であり、100%この範囲に入るわけではない。
 その結果、しばしばこの範囲からずれることがある。
 この場合、5%の確率でこの範囲からずれる可能性があることから、1000試合ワンセットで20セット打てば1個くらいこの成績からずれる可能性がある
 そして、それを最初に引く可能性もなくはない

 統計的に言えるのは、「~%の確率で~の範囲で収まる」である。
 そして、%の値を変えることができる。
 しかし、その数値を100%に近づけてしまうと、誤差が多すぎて何もいえなくなる。
 逆に、誤差の範囲を縮めようとすると、100%から遠くなり、「除外される可能性高いじゃん、それ、あてになるの?」ということになる。

 例えば、1000試合打ったときの平均順位の話をすれば、

「99.75%の可能性で2.394~2.606の範囲に入る」

と精度を高めれば、「誤差でっか」となるし、逆に

「68%の確率で2.645~2.535の範囲に入る」

と誤差を縮めれば、「(誤差は減ったけど)68%(3回に2回)じゃあてにならんわ」となる。

 微妙な問題である。
 当ブログでは、95%に設定しているが、その理由は「なんとなく」である。
(ここまで)


 ところで、この数値を活用すると「10万分の1クラスの悪運を引いたらどうなるか」みたいなことがわかる。
 そこで、超悪運を引いた場合の平均順位・トップ率について調べてみよう。
 なお、プレーヤーの真の実力は平均順位に換算して2.5、トップ率は25%とする。


 まずは、100試合打った場合から。
「~%の確率でこの範囲になる」を列挙すると、

 68%の確率で平均順位は2.388~2.612の範囲に入る
 95%の確率で平均順位は2.276~2.724の範囲に入る
 99.7%の確率で平均順位は2.165~2.835の範囲に入る
 99.993%の確率で平均順位は2.053~2.947の範囲に入る

 となる。
 これを言い換えると、

 16%の確率で平均順位は2.612よりも悪くなる(数値的には上)
 2.3%の確率で平均順位2.724よりも悪くなる
 0.13%の確率で平均順位2.835よりも悪くなる
 3万分の1の確率で平均順位2.947よりも悪くなる

 16%の確率で平均順位2.388よりもよくなる(数値的には下)
 2.3%の確率で平均順位2.276よりもよくなる
 0.13%の確率で平均順位2.165よりもよくなる
 3万分の1の確率で平均順位2.053よりもよくなる

といえる。
 つまり、「平均順位2.5の人間に100試合打たせる」ということを10万回行えば3回は平均順位2.95クラスの成績を取る
 もちろん、3万分の1、つまり、10万回に3回という頻度だから、めったに起こる確率ではない。
 これは、東南戦1試合のなかで誰かが天和を和了する確率と同程度である。
 そのレアさが負の方向に作用すれば、このような結果になる。
 恐るべきは運である


 今度はトップ率で考えてみよう。
 100試合打った結果、「~%の確率でトップ率はこの範囲になる」を列挙すると、

 68%の確率でトップ率は20.7%~29.3%になる
 95%の確率でトップ率は16.3%~33.7%になる
 99.7%の確率でトップ率は12.0%~38.0%となる
 99.993%の確率でトップ率は7.7%~42.3%となる

 となる。
 これをいじると、

 16%の確率でトップ率は20.7%よりも下になる
 2.3%の確率でトップ率16.3%よりも下になる
 0.13%の確率でトップ率12.0%よりも下になる
 3万分の1の確率でトップ率7.7%よりも下になる

 16%の確率でトップ率29.3%よりも上になる
 2.3%の確率でトップ率33.7%よりも上になる
 0.13%の確率でトップ率は38.0%よりも上になる
 3万分の1の確率でトップ率は42.3%よりも上になる

といえる。
 つまり、「トップ率25%の人間に100試合打たせる」ということを10万回行えば3回はトップ率7%といった成績を取るということである。
 トップ率を取る平均回数は100試合の25%だから25回、それが悪運が重なると7回ということになる。
 悪魔のような不運(10万分のいくつか)を引けばこのようなことにもなるようである。
 恐るべきは運である。


 以上、東南戦1試合(1局ではないことに留意)に天和が発生する程度の運(3万分の1)が負の方向に働いたときに100試合の成績がどうなるのかについて予想した。
 なお、1000試合の場合について同じように数値を求めると次のようになる。

 68%の確率で平均順位は2.465~2.535の範囲になる
 95%の確率で平均順位2.429~2.571の範囲になる
 99.7%の確率で平均順位2.394~2.606の範囲になる
 99.993%の確率で平均順位2.359~2.641の範囲になる

 68%の確率でトップ率は23.6~26.4%になる
 95%の確率でトップ率22.3~27.7%になる
 99.7%の確率でトップ率20.9~29.1%になる
 99.993%の確率でトップ率19.5~30.5%になる

 →0.13%の確率で平均順位は2.394よりもよくなる
 →3万分の1の確率で平均順位2.359よりもよくなる
 →0.13%の確率で平均順位2.606よりも悪くなる
 →3万分の1の確率で平均順位2.641よりも悪くなる

 →0.13%の確率でトップ率29.1%よりもよくなる
 →3万分の1の確率でトップ率30.5%よりもよくなる
 →0.13%の確率でトップ率20.9%よりも悪くなる
 →3万分の1の確率でトップ率19.5%よりも悪くなる

 こうやってみると、100試合よりも分散は小さい。
 それでも、10万分の1以上の確率でトップ率20%を割る可能性があるというのは驚きだが。


 それでは皆さん、Atebreve!Obrigado!(また近いうちに、ありがとうございました)
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 また、「科学する麻雀」には秋刀魚に関する記述が乏しいため、秋刀魚に関する分析もしたいと思っております。
 その辺の研究が一通り終わりましたら、数理的裏付けの取れたある程度分かりやすい麻雀戦術記事を書きたいと思っておりますが、、、それは1年以上あとの話になるでしょうね。

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 ② このサイトのデータである旨

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「① 私がシミュレーション又は牌譜解析したことの記載、②このサイトのデータである旨の記載」さえあれば、拒否することは致しませんが、私に再試の機会を与えていただきたいと思っているためです。

 引用について、このようなことを書くのもはばかられますが、某所でちょっとありましたので、このようなことを認めさせて頂きました。
 ご理解いただければ幸いです。


 では、よろしくお願いします。

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