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安定段位の標準偏差 補足

 前々回、平均順位2.5(安定段位7.0)における安定段位の標準偏差を(シミュレーションによって)調べた。
 また、前回、平均順位2.4(安定段位9.2)における安定段位の標準偏差を調べた。

 平均順位の場合等と異なり何故シミュレーションによって調べたかと言うと、安定段位の定義は

 (安定段位) = ( 6 × (1位率) + 3 × (2位率) ) ÷ (4位率) - 2

 となっていて、4位率が分母になっている関係で解析的に解くことが不可能だからである。
 よって、シミュレーションで安定段位の標準偏差を求めている。


 その結果に従うと、

 安定段位7.0、10000試合の安定段位の標準偏差は0.226である
 (安定RATEの標準偏差は12である)
 安定段位9.2、10000試合の安定段位の標準偏差は0.288である。
 (安定RATEの標準偏差は12である)

となった(サンプルサイズ10000回のシミュレーション結果なので、あてになる数値は上二桁くらいであろう、その点は注意が必要である)。


 さて、これを見れば分かるように、安定RATE(平均順位)のそれと比べて、安定段位の標準偏差はその安定段位によってかなりずれる。
 前回、平均順位2.4~2.6程度であれば、安定段位の標準偏差は

(安定段位の標準偏差) = sqrt( 22.5 ÷ (試合数) )

 として考えればいいと述べたが、「何故平均順位2.4~2.6ならいいのか」についての根拠は適当である(鳳凰民の長期における平均順位の分布から見れば、この範囲でフォローできればいいだろうと思っているから、というのもある)。
 大雑把に見るならこの程度でいいと思うが、厳密に考えるなら別途考えた方がいいかもしれない。
 また、特上卓の安定段位の標準偏差を求めるのであれば、プレーヤー毎の平均順位のばらつきは鳳凰卓のそれよりも確実に増えるので、厳密に考えた方がよろしいのではないかと思われる。


 さて、今回は様々な順位分布における鳳凰卓の安定段位の標準偏差をシミュレーションから見積もってみよう。
 なお、比較として安定RATEの標準偏差も見てみる。
 また、試合数は10000試合とする。
 1試合あたりの安定段位の標準偏差を知りたければ、この数値を100倍すれば良い。
 100試合あたりの安定段位の標準偏差を知りたければ、この数値を10倍すれば良い。
 n試合あたりの安定段位の標準偏差を知りたければ、1試合あたりの安定段位からルートn(nの平方根)を割ればよい。

 
 様々な順位分布における安定段位の標準偏差は次のとおりである。

○1位率25%、2位率25%、3位率25%、4位率25%(平均順位2.5)の場合
 安定段位(理論値)7.0 安定段位の標準偏差 0.226
 安定RATEの標準偏差 11.9
○1位率40%、2位率30%、3位率20%、4位率10%(平均順位2.0)の場合
 安定段位(理論値)31.0 安定段位の標準偏差 1.12
 安定RATEの標準偏差 10.7
○1位率31%、2位率27%、3位率23%、4位率19%(平均順位2.3)の場合
 安定段位(理論値)12.05 安定段位の標準偏差 0.38
 安定RATEの標準偏差 11.8
○1位率19%、2位率23%、3位率27%、4位率31%(平均順位2.7)の場合
 安定段位(理論値)3.9 安定段位の標準偏差 0.14
 安定RATEの標準偏差 11.8
○1位率10%、2位率20%、3位率30%、4位率40%(平均順位3.0)の場合
 安定段位(理論値)1.0 安定段位の標準偏差 0.077
 安定RATEの標準偏差 11.9
○1位率15%、2位率35%、3位率35%、4位率15%(平均順位2.5)の場合
 安定段位(理論値)11.0 安定段位の標準偏差 0.039
 安定RATEの標準偏差 10.8
○1位率20%、2位率30%、3位率30%、4位率20%(平均順位2.5)の場合
 安定段位(理論値)8.5 安定段位の標準偏差 0.29
 安定RATEの標準偏差 11.0
○1位率30%、2位率20%、3位率20%、4位率30%(平均順位2.5)の場合
 安定段位(理論値)6.0 安定段位の標準偏差 0.19
 安定RATEの標準偏差 13.0
○1位率35%、2位率15%、3位率15%、4位率35%(平均順位2.5)の場合
 安定段位(理論値)5.28 安定段位の標準偏差 0.17
 安定RATEの標準偏差 13.9


 さて、色々みてみよう。
 まず、安定RATEの標準偏差を比較してみると、一番高いケースは順位分布35-15-15-35の13.9となっている(平均順位に換算すると0.013)
 他方、一番低いケースは順位分布40-30-20-10の10.7となった(平均順位に換算すると0.01)
 平均順位2.5のケースと比較した場合の安定RATEの標準偏差は12であり、これと比較すると安定RATEの標準偏差は2ポイント程度しか変わらない。
 そして、安定RATEの標準偏差が高いケース、低いケースはかなり極端なケースである
 そのことを考慮すれば、「10000試合における安定RATEの標準偏差は順位分布によらず11.9である(1試合あたりだと1192である)」と取り扱ってもさほど問題がないと思われる。

 次に、安定段位の標準偏差について色々見てみよう。
 安定段位のもっとも低いケースは、順位分布10-20-30-40(安定段位1.0)の0.077であった。
 他方、安定段位のもっとも高いケースは順位分布40-30-20-10(安定段位31.0)の1.12となった。
 最も高いケースと最も小さいケースで14倍近く違う
 また、最も高いケース(1.12)は平均順位2.5のケースよりも約4倍以上になっている。
 最も低いケース(0.077)は平均順位2.5のケースよりも約3分の1以下になっている。
 安定RATEのときとは大きな違いである

 このように見ると、一定の縛りをかけることなく、「(順位分布によらず)1試合あたりの安定段位の標準偏差は22.5である」と考えるのは土台無理である、ということになる。
 まあ、平均順位2.5近傍であればまあいいかもしれない(鳳凰卓における長期プレーヤーの平均順位も2.4~2.6程度の範囲に落ち着いている)が、その範囲を逸脱した場合は別個考え直す必要があるだろう。

 
 では、今回はこの辺で。


 なお、安定RATEと平均順位の関係は次のとおりである。

(安定RATE) = 3200÷3×(2.5-(自分の平均順位))+(他家RATE平均)
 安定RATEが107(320÷3)違うと平均順位は0.1ずれる。
 安定RATEが11(32÷3)違うと平均順位は0.01ずれる。


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