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安定段位の標準偏差に関する質疑応答

 前回、安定段位に関する標準偏差(散らばり具合)について書いたところ、次のような質問をもらった。
 
コメントは次のとおり。

(以下、コメントの引用)
ものすごく初歩的な質問で恐縮なのですが、「500試合であれば安定段位は2.0散らばる」というのは、500試合の成績から計算した安定段位が7の人がいたとして、その人の本当の安定段位は95%の確率で5~9の範囲に収まるということであっていますか?
(引用終了)

(この質問は初歩的な質問ではないのだが)、この質問に簡単に答えるならばこうなる。
「①500試合打ったときの平均順位が2.4~2.6(安定段位5~9)であり、
 ②全部の成績を抜き出した(いいとこ取りをしていない)のであれば、
 『500試合打った安定段位が7(A)の場合、その人の安定段位は95%の確率で5(Aー2)~9(A+2)にある』の命題は(多少の誤差はあれ)成り立つ」

 以下、詳説する。


 まず、①について。
 私が示したことは、

「安定段位7.0の者が500試合打った場合の標準偏差は約1.0であった」である(他の試合数については省略する)。
 つまり、「真の実力が分かっている状況から、500試合打ったらどうなるか」を調べたに過ぎない。
「500試合打った結果から真の実力を推測しているわけではない」。

 もっとも、「(現実的に生じうる範囲で)安定段位nの者が500試合打った場合の標準偏差は(多少の誤差はあれ)一律1.0である」といえれば、現実に打った500試合の結果から真の実力を推察することができる。
 そして、今回の結果から「平均順位2.5付近(安定段位7.0付近)では、安定段位の標準偏差はほぼ1.0になる」と言えるので、①500試合打ったときの平均順位が2.5近傍であれば、今回の標準偏差を用いて打った結果から(真の)安定段位を推測することは可能だと思う。


 では、この2.5近傍というのはどの範囲か
 この点、平均順位2.4(安定段位9.2)で10000試合打ったときの標準偏差は0.29となった(安定RATEの標準偏差は12)。
 他方、平均順位2.5(安定段位7.0)で10000試合打ったときの標準偏差は0.23(安定RATEの標準偏差は12)である。
 安定RATEの標準偏差は平均順位(安定段位)によってあまり変わらないが、安定段位の標準偏差は約25%ずれている。
 そうなると、「安定段位の標準偏差は一律~」という命題は(安定RATEに比べて)狭い範囲でしか成立しない
 平均順位(安定RATE)と同列に考えるのは問題がある。
 

 ここでは概ね平均順位2.4~2.6程度としておく。
 ただ、安定段位の標準偏差の非一律性を考えると、500試合(安定段位の標準偏差1.0)の結果から安定段位を導出するのはやめた方がいいと思う。
 せめて、2000試合程度(安定段位の標準偏差は0.5)は集めた方がいいと思われる。 


 次に、②の点について。
 この分析をする際には、「いいとこどり」をしてはならない
 いいとこどりをすれば成績が上昇する(平均順位が下がる)のは簡単に想像できよう。
 例えば、「100000試合打ちました、そのうちに一番いい成績をとった500試合を抜き出しました~」とやった場合、抜き出した500試合の平均順位は100000試合の平均順位と比較して平均して0.17下がる(安定RATEにして185上昇する)。
「いいとこ取りをやりたい放題とする」としてその上で実力を計測する方法はあることはあるが(とつげき東北の保証RATEの概念がそれである)、それを安定段位に移植するのは非常に難しい。
 なので、「いいどこ取りをしないこと」を前提で分析をしなければならない。
 もちろん、他所から見て「これはいいどこ取りをしていない」ことを証明することはできないし、その必要もないが(だから、凸は保証安定RATEを作り出したのだと思う)。


 以上、安定段位の標準偏差に関する裏側の話を詳説した。
 参考にしていただければ幸いである。
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 引用について、このようなことを書くのもはばかられますが、某所でちょっとありましたので、このようなことを認めさせて頂きました。
 ご理解いただければ幸いです。


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