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他家1家に対する勝率から平均順位を予測する方法 4

 前回、他家1家との点数差から平均順位やトップ率を導く方法を示した。
 このトップ率を導く方法を少し応用すれば、ラス率も求めることができる。
 そこで、その方法を確認しよう。

 この点、トップ率に対応するための指標としてトップ獲得力を用意したが、ラス率に対応する指標としてラス回避力という概念を導入する。

 概要を簡単に説明すると、
  1、ラス回避力という概念を導入する(自分の自分に対するラス回避力を1とする)。
  2、他家1家との点数差がx点である場合のラス回避力を求め、関数化する。
  3、それを3家に拡張する。
 
である。
 
 ここで、他家1家との点数差がx点である場合のラス回避力をL(x)、トップ率をLath(α,β,γ)と置く。
 他家3家との点数差をα、β、γとするとき(自分の方が点数が高いときを正に取る)のラス回避力とラス率は次のように定義される。

 Lath(α,β,γ) = 1 ÷ ( 1 + L(α) + L(β) + L(γ) )

 つまり、ラス率は自分の他家3家に対するラス回避力3つと1を足して逆数を取れば良い。 


 以下、1VS1の関係で見た場合のラス回避力を考える。
 まず、特定1家との点数差がx点、残り2家との点数差が負の無限大(残り2家の点数を正の無限大だとする)であるとする。
 このとき、トップ率は他家1家に対する敗北率は (1-P(x))になる。
 また、残り2家に対するラス回避力は0となる。
 よって、

 Lath(x) = 1 - P(x) = 1 ÷ ( 1 + L(x) )

 と置ける。
 この式を繰り替えると、

 L(x) = ( 1 - P(x) ) ÷  P(x)

 となる(ちなみに、T(x)×L(x)=1 なので、ラス回避力はトップ獲得力の逆数である)。
 P(x)は既に分かっているので、それを用いればラス回避力が分かる。 


 以上の手続きに従って、他家1家との点数差と各局におけるラス回避力の関係を求めてみた。
 具体的な関係は次の通りである。
 なお、ラス回避力については、対数で表示した。

FC21607041.jpg


FC21607042.jpg


FC21607043.jpg


 こうやってみると、ラス回避力の対数と他家1家との点数差は比例するようである(係数は正になるが)。
 すると、

 log(L(x)) = B × x (B>0)

 という関係にあると思われる(トップ獲得力とラス回避力の関係を考慮すると、Bは-Aになりそうである)。

 そこで、各局毎の具体的なBを求め、点数差とラス回避力の関係を求め、他家1家の点数差とラス率の関係を調べてみる。


 オーラス以外は-20000点~20000点のデータ、オーラスは-10000点~10000点のデータを用いて、
  データから傾き(B)を見積もった。
 具体的なラス回避力は次の通りである。
(^はべき乗である)

 L(x) = 10^( B × x )

 ただし、Bは次の通り

 東風戦東1局 4.61955×10^-5
 東風戦東2局 5.39462×10^-5
 東風戦東3局 6.68986×10^-5
 東風戦東4局 1.03613×10^-4

 東南戦東1局 3.167×10^-5
 東南戦東2局 3.33217×10^-5
 東南戦東3局 3.63262×10^-5
 東南戦東4局 4.05904×10^-5
 東南戦南1局 4.56953×10^-5
 東南戦南2局 5.36455×10^-5
 東南戦南3局 6.65867×10^-5
 東南戦南4局 1.0477×10^-4


 これで、他家1家に対するラス回避力を求めることが出来た。
 これを3家に拡張すればラス率を求めることができる。

 具体的には、

 Lath(α,β,γ) = 1 ÷ ( 1 + 10^( B × α ) + 10^( B × β ) + 10^( B × γ ) )

 と書ける。

 もちろん、直接手計算で求める必要はなく、エクセルを使えば一発である。

 これで、他家3家との点数差から平均順位、トップ率、ラス率を求めることができた。
 2位率、3位率については、

(トップ率) + (2位率) × 2 + (3位率) × 3 + (ラス率) × 4 = (平均順位)  
(トップ率) + (2位率) + (3位率) + (ラス率) = 1

 という二元一次方程式を解くことでで2位率、3位率を出すことができる。
 もっとも、時折、2位率、又は、3位率が負の数値が出ることがあり、ちゃんと精度チェックをしないといけないと思っているが・・・。


 これで点数差から順位関係の数値を予測する理論のようなものは出来上がった。
(もちろん、精度チェックをしてみたらがたがただった、みたいな結果は生じるかもしれない、精度チェック自体まだ終わってないので)。
 次回は、精度チェックをしてみる予定である。
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